Estudio de la energía cinética en sistemas rotacionales, su relación con el momento de inercia y la velocidad angular, y aplicaciones prácticas.
Explorar ContenidoAsí como los objetos en movimiento lineal poseen energía cinética, los objetos en rotación también tienen energía cinética asociada a su movimiento. La energía cinética rotacional depende del momento de inercia y de la velocidad angular del objeto.
| Movimiento Lineal | Movimiento Rotacional |
|---|---|
| Energía cinética: K = ½ m v² | Energía cinética rotacional: K = ½ I ω² |
| m = masa | I = momento de inercia |
| v = velocidad lineal | ω = velocidad angular |
| Trabajo: W = F · d | Trabajo rotacional: W = τ · θ |
| Potencia: P = F · v | Potencia rotacional: P = τ · ω |
Krot = ½ I ω²
W = τ Δθ
P = τ ω
La energía cinética rotacional es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento de rotación. Se calcula como la mitad del producto del momento de inercia por el cuadrado de la velocidad angular.
Krot = ½ I ω²
Donde:
Krot = energía cinética rotacional (J)
I = momento de inercia (kg·m²)
ω = velocidad angular (rad/s)
Consideremos un objeto que rota compuesto por muchas partículas. Cada partícula i tiene masa mᵢ y velocidad vᵢ = rᵢω. La energía cinética total es:
K = Σ ½ mᵢ vᵢ² = Σ ½ mᵢ (rᵢ ω)² = ½ (Σ mᵢ rᵢ²) ω² = ½ I ω²
Donde I = Σ mᵢ rᵢ² es el momento de inercia.
Un volante de inercia con I = 2 kg·m² se acelera desde el reposo hasta 10 rad/s. Calcular el trabajo realizado.
El trabajo realizado para acelerar el volante es igual al cambio en su energía cinética rotacional:
W = ΔKrot = ½ I ω² - 0
W = ½ × 2 × (10)² = 100 J
Por lo tanto, el trabajo realizado para acelerar el volante es de 100 julios.
Un volante de inercia es un dispositivo mecánico que almacena energía rotacional. Su alta inercia rotacional le permite mantener una velocidad angular constante, suavizando las fluctuaciones en sistemas mecánicos.
Energía almacenada: E = ½ I ω²
Un motor produce un torque de 50 N·m a 3000 rpm (314 rad/s). Calcular la potencia desarrollada.
La potencia rotacional se calcula como el producto del torque por la velocidad angular:
P = τ ω = 50 × 314 = 15,700 W = 15.7 kW
Por lo tanto, la potencia desarrollada por el motor es de 15.7 kilovatios.
La potencia rotacional representa la tasa a la que se realiza trabajo rotacional. Es análoga a la potencia en sistemas lineales, pero utilizando torque y velocidad angular en lugar de fuerza y velocidad lineal.
P = τ ω = F r ω = F v
En sistemas conservativos, la energía mecánica total se conserva. Para sistemas que involucran rotación, esto incluye energía potencial, cinética de traslación y cinética de rotación.
Einicial = Efinal
U₁ + Ktras1 + Krot1 = U₂ + Ktras2 + Krot2
Donde:
U = Energía potencial gravitatoria
Ktras = Energía cinética de traslación
Krot = Energía cinética de rotación
Para una esfera que rueda sin deslizar por un plano inclinado, aplicamos la conservación de energía:
mgh = ½ m v² + ½ I ω²
Para una esfera sólida, I = ⅖ m r², y como v = rω:
mgh = ½ m v² + ½ (⅖ m r²) (v/r)²
mgh = ½ m v² + ⅕ m v² = ⁷⁄₁₀ m v²
v = √(¹⁰⁄₇ g h)
Esto demuestra que la velocidad final depende tanto de la masa como de la distribución de masa (momento de inercia).
Para objetos que experimentan tanto movimiento de traslación como de rotación, la energía cinética total es la suma de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación.
Ktotal = Ktras + Krot = ½ m v² + ½ I ω²
Donde:
Ktotal = energía cinética total (J)
m = masa del objeto (kg)
v = velocidad del centro de masa (m/s)
I = momento de inercia (kg·m²)
ω = velocidad angular (rad/s)
El trabajo realizado al hacer girar un objeto es análogo al trabajo en movimiento lineal, pero usando torque y desplazamiento angular en lugar de fuerza y desplazamiento lineal.
W = τ Δθ
Donde:
W = trabajo rotacional (J)
τ = torque aplicado (N·m)
Δθ = desplazamiento angular (rad)
El trabajo rotacional causa un cambio en la energía cinética rotacional:
W = ΔKrot = ½ I ω₂² - ½ I ω₁²
P = τ ω
Donde:
P = potencia rotacional (W)
τ = torque (N·m)
ω = velocidad angular (rad/s)
La potencia rotacional también se puede expresar como:
P = dW/dt = τ dθ/dt = τ ω
Para un sistema que combina movimiento lineal y rotacional (como una rueda), la potencia total es:
Ptotal = F v + τ ω
Donde F es la fuerza aplicada y v es la velocidad lineal.
Un disco uniforme de 5 kg y 0.4 m de radio gira a 120 rpm. Calcula:
Datos:
m = 5 kg
r = 0.4 m
ω = 120 rpm
1. Momento de inercia del disco:
I = ½ m r² = ½ × 5 kg × (0.4 m)² = ½ × 5 × 0.16 = 0.4 kg·m²
2. Velocidad angular en rad/s:
ω = 120 rpm × (2π rad / 1 rev) × (1 min / 60 s) = 120 × 2π / 60 = 4π rad/s ≈ 12.57 rad/s
3. Energía cinética rotacional:
Krot = ½ I ω² = ½ × 0.4 kg·m² × (4π rad/s)² = ½ × 0.4 × 16π² ≈ ½ × 0.4 × 157.91 ≈ 31.58 J
Respuesta: El momento de inercia es 0.4 kg·m², la velocidad angular es 12.57 rad/s y la energía cinética rotacional es 31.58 J.
Una esfera sólida de 2 kg y 0.1 m de radio rueda sin deslizar desde una altura de 3 m por un plano inclinado. Calcula:
Datos:
m = 2 kg
r = 0.1 m
h = 3 m
Iesfera = ⅖ m r²
1. Velocidad en la base (conservación de energía):
mgh = ½ m v² + ½ I ω²
Como ω = v/r y I = ⅖ m r²:
mgh = ½ m v² + ½ (⅖ m r²) (v/r)² = ½ m v² + ⅕ m v² = ⁷⁄₁₀ m v²
v² = (¹⁰⁄₇) g h = (¹⁰⁄₇) × 9.8 m/s² × 3 m ≈ 42
v ≈ √42 ≈ 6.48 m/s
2. Energía cinética total en la base:
Ktotal = mgh = 2 kg × 9.8 m/s² × 3 m = 58.8 J
3. Energía cinética de rotación:
Krot = ½ I ω² = ½ × (⅖ × 2 × 0.1²) × (6.48/0.1)²
I = ⅖ × 2 × 0.01 = 0.008 kg·m²
ω = 6.48 / 0.1 = 64.8 rad/s
Krot = ½ × 0.008 × (64.8)² ≈ ½ × 0.008 × 4199 ≈ 16.8 J
Respuesta: La velocidad es 6.48 m/s, la energía total es 58.8 J y la energía de rotación es 16.8 J.
Un motor eléctrico aplica un torque constante de 25 N·m a un volante de inercia con momento de inercia 4 kg·m². Si el volante parte del reposo, calcula:
Datos:
τ = 25 N·m
I = 4 kg·m²
t = 10 s
ω₀ = 0
1. Trabajo realizado:
Primero calculamos la aceleración angular:
α = τ / I = 25 N·m / 4 kg·m² = 6.25 rad/s²
Desplazamiento angular: θ = ½ α t² = ½ × 6.25 × (10)² = 312.5 rad
W = τ θ = 25 N·m × 312.5 rad = 7812.5 J
2. Potencia media:
Pmedia = W / t = 7812.5 J / 10 s = 781.25 W
3. Velocidad angular final:
ω = ω₀ + α t = 0 + 6.25 rad/s² × 10 s = 62.5 rad/s
Respuesta: El trabajo es 7812.5 J, la potencia media es 781.25 W y la velocidad angular final es 62.5 rad/s.