Estudio del torque, su relación con la aceleración angular y el concepto de momento de inercia en sistemas rotacionales.
Explorar ContenidoEl movimiento rotacional es análogo al movimiento lineal, pero aplicado a objetos que giran alrededor de un eje. Mientras que en el movimiento lineal tenemos posición, velocidad y aceleración, en el rotacional tenemos posición angular, velocidad angular y aceleración angular.
| Movimiento Lineal | Movimiento Rotacional |
|---|---|
| Posición (x) | Posición angular (θ) |
| Velocidad (v) | Velocidad angular (ω) |
| Aceleración (a) | Aceleración angular (α) |
| Masa (m) | Momento de inercia (I) |
| Fuerza (F) | Torque (τ) |
| F = m·a | τ = I·α |
ω = Δθ / Δt
α = Δω / Δt
El torque (τ) es la medida de la capacidad de una fuerza para causar rotación alrededor de un eje. Depende de la magnitud de la fuerza, la distancia al eje de rotación (brazo de palanca) y el ángulo entre la fuerza y el brazo de palanca.
τ = r × F = r · F · sen(θ)
Donde:
τ = torque (N·m)
r = brazo de palanca (m)
F = fuerza aplicada (N)
θ = ángulo entre r y F
Al abrir una puerta, aplicamos fuerza perpendicularmente al borde más alejado de las bisagras para maximizar el torque. Si empujamos cerca de las bisagras o en un ángulo no perpendicular, necesitaremos más fuerza para lograr el mismo efecto.
τ = I · α
Esta es la Segunda Ley de Newton para rotación, donde:
I = momento de inercia (kg·m²)
α = aceleración angular (rad/s²)
El momento de inercia (I) es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de rotación. Depende de la distribución de masa del objeto respecto al eje de rotación.
Para un sistema de partículas:
I = Σ m_i · r_i²
Para un cuerpo continuo:
I = ∫ r² dm
Donde:
m_i = masa de la partícula i
r_i = distancia de la partícula i al eje de rotación
Un patinador sobre hielo que gira puede cambiar su velocidad angular extendiendo o contrayendo sus brazos. Al extender los brazos, aumenta su momento de inercia y disminuye su velocidad angular para conservar el momento angular.
Resumen de fórmulas:
El teorema de los ejes paralelos permite calcular el momento de inercia de un cuerpo respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por su centro de masa.
I = ICM + m · d²
Donde:
I = momento de inercia respecto al nuevo eje (kg·m²)
ICM = momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa (kg·m²)
m = masa total del objeto (kg)
d = distancia entre los dos ejes paralelos (m)
El momento de inercia de una puerta (que puede aproximarse como una varilla delgada) que gira sobre sus bisagras (eje en un extremo) es I = ⅓ m·L². Esto se puede obtener aplicando el teorema de ejes paralelos al momento de inercia de una varilla que gira por su centro (ICM = ¹⁄₁₂ m·L²) con d = L/2.
I = ICM + m·d² = ¹⁄₁₂ m·L² + m·(L/2)² = ¹⁄₁₂ m·L² + ¼ m·L² = ⅓ m·L²
Una fuerza de 50 N se aplica al borde de una puerta de 0.8 m de ancho. Calcula el torque producido cuando:
Datos:
F = 50 N
r = 0.8 m (distancia desde las bisagras al punto de aplicación)
1. Fuerza perpendicular (θ = 90°):
τ = r · F · sen(θ) = 0.8 m · 50 N · sen(90°) = 0.8 · 50 · 1 = 40 N·m
2. Fuerza a 60° (θ = 60°):
τ = r · F · sen(θ) = 0.8 m · 50 N · sen(60°) = 0.8 · 50 · 0.866 = 34.64 N·m
Respuesta: El torque es de 40 N·m cuando la fuerza es perpendicular y 34.64 N·m cuando forma un ángulo de 60°.
Un disco uniforme de 10 kg y 0.5 m de radio gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Se aplica una fuerza tangencial de 20 N en el borde del disco. Calcula:
Datos:
m = 10 kg
r = 0.5 m
F = 20 N
1. Momento de inercia del disco:
I = ½ m · r² = ½ · 10 kg · (0.5 m)² = ½ · 10 · 0.25 = 1.25 kg·m²
2. Torque aplicado:
τ = r · F (fuerza tangencial, θ = 90°) = 0.5 m · 20 N = 10 N·m
3. Aceleración angular:
τ = I · α
α = τ / I = 10 N·m / 1.25 kg·m² = 8 rad/s²
Respuesta: El momento de inercia es 1.25 kg·m², el torque aplicado es 10 N·m y la aceleración angular es 8 rad/s².