Estudio del momento angular, su conservación y aplicaciones en sistemas físicos rotacionales y astronómicos.
Explorar ContenidoEl momento angular es una magnitud física que describe la cantidad de movimiento rotacional de un objeto. Es el análogo rotacional del momento lineal y juega un papel fundamental en la descripción de sistemas rotatorios.
Para una partícula puntual:
L = r × p = r × (m · v)
Donde:
L = momento angular (kg·m²/s)
r = vector posición respecto al eje
p = momento lineal (kg·m/s)
m = masa (kg)
v = velocidad (m/s)
Para un cuerpo rígido:
L = I · ω
Donde:
I = momento de inercia (kg·m²)
ω = velocidad angular (rad/s)
Un patinador sobre hielo que gira puede cambiar su velocidad angular extendiendo o contrayendo sus brazos. Al extender los brazos, aumenta su momento de inercia y disminuye su velocidad angular para conservar el momento angular.
El principio de conservación del momento angular establece que si el torque neto externo sobre un sistema es cero, el momento angular total del sistema permanece constante.
Si τ_neto = 0 → L = constante
L_inicial = L_final
I_i · ω_i = I_f · ω_f
La conservación del momento angular explica por qué los planetas se mueven más rápido cuando están más cerca del Sol (perihelio) y más lento cuando están más lejos (afelio).
"La línea que une un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales." Esta ley es una consecuencia directa de la conservación del momento angular.
dA/dt = L / (2m) = constante
Donde:
dA/dt = velocidad areal
L = momento angular
m = masa del planeta
La precesión es el cambio en la dirección del eje de rotación de un objeto giratorio cuando se aplica un torque externo. Un ejemplo clásico es el trompo.
Ω = τ / (I · ω)
Donde:
Ω = velocidad de precesión (rad/s)
τ = torque aplicado (N·m)
I = momento de inercia (kg·m²)
ω = velocidad angular (rad/s)
Un patinador gira inicialmente con los brazos extendidos a 2 rev/s. Su momento de inercia en esta posición es 5 kg·m². Si contrae los brazos reduciendo su momento de inercia a 2 kg·m², calcula:
Datos:
ω₁ = 2 rev/s = 4π rad/s
I₁ = 5 kg·m²
I₂ = 2 kg·m²
1. Nueva velocidad angular (conservación de L):
L₁ = L₂
I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂
ω₂ = (I₁ · ω₁) / I₂ = (5 kg·m² · 4π rad/s) / 2 kg·m² = 10π rad/s = 5 rev/s
2. Relación de energías cinéticas:
E₁ = ½ I₁ ω₁² = ½ · 5 · (4π)² = ½ · 5 · 16π² = 40π² J
E₂ = ½ I₂ ω₂² = ½ · 2 · (10π)² = ½ · 2 · 100π² = 100π² J
E₂ / E₁ = (100π²) / (40π²) = 2.5
Respuesta: La nueva velocidad angular es 5 rev/s y la energía cinética rotacional aumenta 2.5 veces. El patinador debe realizar trabajo para contraer sus brazos.
Un planeta orbita alrededor de una estrella en una trayectoria elíptica. En el perihelio está a 1.0 × 10¹¹ m de la estrella y se mueve a 3.0 × 10⁴ m/s. En el afelio está a 3.0 × 10¹¹ m. Calcula:
Datos:
r_p = 1.0 × 10¹¹ m
v_p = 3.0 × 10⁴ m/s
r_a = 3.0 × 10¹¹ m
1. Velocidad en afelio (conservación de L):
L_p = L_a
m · r_p · v_p = m · r_a · v_a
v_a = (r_p · v_p) / r_a = (1.0 × 10¹¹ m · 3.0 × 10⁴ m/s) / (3.0 × 10¹¹ m) = 1.0 × 10⁴ m/s
2. Relación de velocidades areales:
dA/dt = ½ r v (componente perpendicular)
Como la velocidad areal es constante (2da Ley de Kepler):
(dA/dt)_p = (dA/dt)_a
Respuesta: La velocidad en el afelio es 1.0 × 10⁴ m/s y las velocidades areales son iguales en ambos puntos.
Una rueda de bicicleta con momento de inercia 0.15 kg·m² gira a 10 rev/s. Se suspende de una cuerda en un extremo del eje. Si el eje tiene 0.3 m de longitud y la rueda pesa 20 N, calcula:
Datos:
I = 0.15 kg·m²
ω = 10 rev/s = 20π rad/s
L_eje = 0.3 m
Peso = 20 N
1. Torque gravitacional:
τ = r · F = (0.3 m) · (20 N) = 6 N·m
2. Velocidad de precesión:
Ω = τ / (I · ω) = 6 N·m / (0.15 kg·m² · 20π rad/s)
Ω = 6 / (3π) ≈ 0.6366 rad/s ≈ 0.101 rev/s
Respuesta: El torque gravitacional es 6 N·m y la velocidad de precesión es aproximadamente 0.101 revoluciones por segundo.